Контрпримеры к ранговому аналогу теоремы Шеферда–Лидхэм-Грина–Маккэй о конечных $p$-группах максимальной ступени нильпотентности
Е. И. Хухро Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск
Аннотация:
По теореме Шеферда–Лидхэм-Грина–Маккэй о конечных
$p$-группах максимальной ступени нильпотентности, если конечная
$p$-группа порядка
$p^n$ имеет ступень нильпотентности
$n-1$, то она обладает подгруппой ступени нильпотентности не выше 2 с индексом, ограниченным в терминах
$p$. Построены контрпримеры к ранговому аналогу этой теоремы, которые дают отрицательное решение задачи 16.103 из “Коуровской тетради”. Более того, показано, что не существует функций
$r(p)$ и
$l(p)$ таких, что любая
$2$-порожденная конечная
$p$-группа, все факторы нижнего центрального ряда которой начиная со второго циклические, обязательно обладала бы нормальной подгруппой ступени разрешимости не выше
$l(p)$ с фактор-группой ранга не выше
$r(p)$. Требуемые примеры конечных
$p$-групп строятся как фактор-группы нильпотентных групп без кручения, которые являются абстрактными
$2$-порожденными подгруппами нильпотентных делимых групп без кручения, находящихся в соответствии Мальцева с “укороченными” алгебрами Витта.
Ключевые слова:
конечная p-группа, ступень нильпотентности, ступень разрешимости, нижний центральный ряд, ранг.
УДК:
512.5
Статья поступила: 08.10.2012