Свойства отображений, близких к гармоническим

Изучаются свойства отображений $f\colon U\to\mathbb R^m$, $U$ – область (открытое связное множество) в $\mathbb R^n$, близких к гармоническим, $n=2,3,\dots$, $m=1,2,\dots$ . Последнее понятие эквивалентно тому, что $f$ обладает обобщенными (по Соболеву) частными производными второго порядка $\partial_{js}f$, локально суммируемыми в $U$ в степени $p=p(f)>n$, и является решением дифференциального неравенства $|\Delta f(x)|(=|\sum_{j=1}^n\partial_{jj}f(x)|)\le\varepsilon\{n\sum_{j,s=1}^n|\partial_{js}f(x)|^2\}^{1/2}$, $0\le\varepsilon<1$ (такого рода отображения автором названы $\varepsilon$-квазигармоническими). Установлено, что степень суммируемости производных $\partial_{js}f$ неограниченно возрастает, когда $\varepsilon\to 0$; для любого $p>1$ получена оценка близости производных $\partial_{js}f$ к производным $\partial_{js}g$ гармонических отображений $g$ в $L_p$-норме; как для отображений $f$, так и для их производных первого порядка $\partial_jf$, $j=1,\dots,n$, получены аналоги классической теоремы Лиувилля о постоянстве ограниченной гармонической функции $g\colon\mathbb R^n\to\mathbb R$; доказаны теоремы о замкнутости классов $\mathfrak G_{n,m}(\varepsilon)$ (всех) $\varepsilon$-квазигармонических отображений, $0\le\varepsilon<1$, и о компактности семейств отображений из этих классов в топологии локально равномерной сходимости.
Введены понятия областей устойчивости для классов $\mathfrak G$ непрерывно дифференцируемых отображений, имеющие важное значение для исследования проблем устойчивости в $C^1$-норме классов отображений и, в первую очередь, классов гармонических отображений.
Библиогр. 8.