Эта публикация цитируется в
1 статье
О формуле Тейлора для функций многих переменных
Ю. Г. Решетняк Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090
Аннотация:
В элементарных курсах математического анализа обычно приводится прием, применяемый для построения остаточного члена формулы Тейлора в интегральной форме. Этот прием основан на том, что если разность $f(x)-f(t)-f'(t)\frac{(x-t)}{1!}-\dots-f^{(r-1)}(t)\frac{(x-t)^{r-1}}{(r-1)!}$ между данной функцией и ее полиномом Тейлора порядка
$r-1$ в точке
$t$ продифференцировать по
$t$, то в результате получим выражение
$-f^{(r)}(t)\frac{(x-t)^{r-1}}{(r-1)!}$, так что все производные порядка, меньшего
$r$, исчезают. Как было замечено автором [1], аналогичный эффект имеет место и для функций многих переменных. При дифференцировании разности между функцией и ее полиномом Тейлора порядка
$r-1$ в точке
$t$ относительно компонент этой точки остаются члены, в которые входят только производные порядка
$r$. Этот факт применяется здесь для получения оценок остаточного члена формулы Тейлора функции многих переменных вдоль спрямляемой кривой.
Ключевые слова:
формула Тейлора, спрямляемая кривая, остаточный член, функции класса
$\mathscr C^r$.
УДК:
517.53 Статья поступила: 14.02.2013