Киллинговы тензорные поля на $2$-торе

Симметричное тензорное поле на римановом многообразии называется киллинговым, если симметричная часть его ковариантной производной равна нулю. Имеется взаимно однозначное соответствие между киллинговыми тензорными полями и первыми интегралами геодезического потока, полиномиально зависящими от скорости. Поэтому киллинговы тензорные поля тесно связаны с задачей интегрируемости геодезического потока. В частности, остается открытым вопрос: существует ли на двумерном торе риманова метрика, допускающая неприводимое киллингово тензорное поле валентности $\ge3$? Мы приводим два необходимых условия на риманову метрику на $2$-торе для существования неприводимого киллингова тензорного поля. Первое условие относится к киллинговым тензорным полям произвольной валентности и связано с замкнутыми геодезическими. Второе условие получено для киллинговых тензорных полей валентности 3 и связано с изолиниями гауссовой кривизны.