Разности идемпотентов в $C^*$-алгебрах

Пусть $P,Q$ – идемпотенты в гильбертовом пространстве $\mathscr H$, $Q=Q^*$, $I$ – тождественный оператор в $\mathscr H$. Если оператор $U=P-Q$ – изометрия, то $U=U^*$ унитарен и $Q=I-P$. Для точных нижней и верхней граней пары проекторов $P,Q$ в $\mathscr H$ и $P-Q$ установлено двойное неравенство. Получены приложения этого неравенства к характеризации следа и к идеальным $F$-псевдонормам на $W^*$-алгебре. Пусть $\varphi$ – след на унитальной $C^*$-алгебре $\mathscr A$, трипотенты $P,Q$ принадлежат $\mathscr A$. Если $P-Q$ принадлежит идеалу определения следа $\varphi$, то $\varphi(P-Q)$ является вещественным числом. Установлена перестановочность некоторых операторов.