Вариационная теория поля с точки зрения прямых методов

Показано, что классическая теория поля Вейерштрасса–Гильберта может быть усилена, если использовать прямые методы. А именно, для любого поля экстремалей верно, что если экстремаль – элемент поля, то на ней достигается минимум в классе липшицевых функций с теми же граничными данными, что и у экстремали, и с графиками из множества, покрытого полем. Мы приводим два доказательства: современное (использующее теорему Тонелли о полунепрерывности снизу интегрального функционала относительно слабой сходимости пробных функций в $W^{1,1}$) и основанное только на аргументах, доступных в 19-м веке.