О финитной отделимости подгрупп в свободных произведениях групп с объединенной подгруппой конечного индекса

Пусть $P$ — свободное произведение групп $A$ и $B$ с объединенной подгруппой $H$, причем $H$ является собственной подгруппой конечного индекса в группах $A$ и $B$. Будем предполагать, что группы $A$ и $B$ удовлетворяют нетривиальному тождеству и для каждого натурального числа $n$ число всех подгрупп групп $A$ и $B$ индекса $n$ конечно.
Доказаны следующие утверждения.

• В группе $P$ все циклические подгруппы финитно отделимы тогда и только тогда, когда группа $P$ финитно аппроксимируема, и в группе $H$ все циклические подгруппы финитно отделимы.
• В группе $P$ все конечно порожденные подгруппы финитно отделимы тогда и только тогда, когда группа $P$ финитно аппроксимируема, и в группе $H$ финитно отделимы все подгруппы, высекаемые в $H$ конечно порожденными подгруппами группы $P$.