Фрактальные прямые и квазиконформные отображения

Исследуются линии в евклидовом пространстве, названные автором фрактальными прямыми. В определенном смысле они являются "прямыми с точностью до $\varepsilon$". Вводятся классы кривых $J_1(\varepsilon)$ и $J_2(\varepsilon)$, эквивалентные при малых $\varepsilon$.
Кривая $\gamma$ удовлетворяет условию $J_2(\varepsilon)$, если для каждых $x,y,z\in R$ из неравенств $x\leqslant y\leqslant z$ следует, что
$$ (1+\varepsilon^2)|\gamma(z)|\geqslant|\gamma(x)-\gamma(y)|+|\gamma(y)-\gamma(z)|. $$
Это условие при больших $\varepsilon$ эквивалентно известному $M$-условию Альфорса, задающему неограниченные квазиокружности – образы прямых при квазиконформных отображениях плоскости.
Основной результат статьи – следующая
Теорема. Существуют $\varepsilon_0>0$ и $C<\infty$, зависящие только от $n$, $n\geqslant2$, такие, что по любой неограниченной кривой $\gamma\colon\bar R\to\bar R^n$, удовлетворяющей условию $J_1(\varepsilon)$, можно найти $K$-квазиконформное отображение $f\colon\bar R^n\to\bar R^n$, обладающее следующими свойствами:
$1)$ $f(\bar R)=\gamma(\bar R)$,
$2)$ $K_f\leqslant 1+C_\varepsilon$.
Доказательство состоит в продолжении квазисимметрического отображения $f\colon\bar R\to\gamma(\bar R)$, построенного автором ранее. Для построенного в работе продолжения получена оценка $K_f\leqslant1+1{,}7\cdot10^4n^{5/2}\varepsilon$ при $\varepsilon\leqslant1/8\cdot10^5n^{3/2}$.
Ил. 1.
Библиогр. 11.