О неравенстве Гарнака для формально сопряженного уравнения к линейному эллиптическому дифференциальному уравнению

Для положительных решений уравнения специального вида
$$ \sum_{i,k=1}^n\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_k}(a_{ik}(x)u(x))=0 $$
доказывается неравенство типа среднего

$$ \frac{c_1}{\mathbf{R}^n}\int_{Q_R^{x^0}}u(y)\,dy\le u(x^0)\le\frac{c_2}{\mathbf{R}^n}\int_{Q_R^{x^0}}u(y)\,dy, $$
и из него выводится хорошо известное неравенство Гарнака
$$ \max_{Q_R^{x^0}}u(x)\le c\min_{Q_R^{x^0}}u(x),\quad Q_R^{x^0}=\{x\in\mathbf{R}^n,|x-x^0|\le R\}. $$
От коэффициентов $a_{ik}(x)$ уравнения потребуется кроме условия равномерной эллиптичности еще и условие непрерывности по Дини. Решение понимается в смысле: для любой пробной функции $\varphi(x)\in C^2(D)$, $\varphi(x)=0$ на $\partial D$,
$$ \frac{\partial\varphi}{\partial\nu}=\sum_{i,k=1}^na_{ik}(x)\frac{\partial\varphi}{\partial x_i}n_k=0\, \text{ на } \partial D,\\ \sum_{i,k=1}^n\int_D\biggl(a_{ik}(x)\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_i\partial x_k}\biggr)u(x)\,dx=0. $$

Библиогр. 7.