Об автоморфизмах конечных групп

Цель настоящей заметки – следующая:
Теорема 1. Пусть $G$ – конечная группа, $A$ – ее группа автоморфизмов, причем $|A|$ и $|G|$ взаимно просты. Тогда в $G$ есть такая $A$-инвариантная разрешимая подгруппа $H$, что $\mathbf{C}_A(H)=1$. Теорема 1 отвечает на вопрос 4.22 из “Коуровской тетради”, поставленной Глауберманом. В ее формулировке разрешимость $H$ можно заменить на нильпотентность. Теорема 1 доказывается с помощью следующего результата, который представляет и самостоятельный интерес:
Теорема 2. Пусть $G$ – конечная группа, допускающая такую группу автоморфизмов $A$, что $|A|$ и $|G|$ взаимно просты. Предположим, что $A$ централизует некоторую силовскую $2$-подгруппу из $G$. Тогда либо $A$ тождественно действует на $G/\mathbf{O}(G)$, либо в $G/\mathbf{O}(G)$ есть субнормальная подгруппа, изоморфная группе лиева типа нечетной характеристики.
Библиогр. 5.