Об особенностях решений задачи Неймана в конической точке

Изучается асимптотика решения и задачи Неймана для оператора Лапласа в трехмерной области, совпадающей вблизи точки $x=0$ с конусом $K_\varepsilon$. Предполагается, что этот конус вырезает на единичной сфере $S^2$ область $G_\varepsilon$, дополнение которой до $S^2$ имеет малый диаметр $\varepsilon$. Показано, что при $x\to0$
$$ u(x)-u(0)\sim\sum_{j=1}^3 c_j(\varepsilon)|x|^{\lambda_j(\varepsilon)}\Phi_j\biggl(\varepsilon,\frac{x}{|x|}\biggr), $$
где $\lambda_k(\varepsilon)=1-\pi^{-1}\mu_k\varepsilon^2+o(\varepsilon^2)$, $k=1,2$; $\lambda_3(\varepsilon)=1+4\pi^{-1}s(S^2\setminus G_\varepsilon)+o(\varepsilon^2)$. Через $\mu_1$ и $\mu_2$ обозначены собственные числа некоторой положительно определенной матрицы; $s$ – площадь на $S^2$.
Библиогр. 9.