Эквивалентные нормировки в пространствах функций с дробной или функциональной гладкостью

Показано, что норма функции $f$ в пространстве бесселевых потенциалов $\mathscr H^\alpha_p(R^n)$, $0<\alpha<1$, $p>1$ эквивалентна норме
$$ \inf_u\biggl\{\int_{R^n}\biggl(\int_{R^k}|y|^{2-2\alpha-k}(|\nabla u|^2+|u|^2)\,dy \biggr)^{p/2}\,dx\biggr\}^{1/2}, $$
где infimum берется по всем продолжениям $f$ на $R^{n+k}$, причем норма $f$ в $\mathscr H^\alpha_p(R^n)$ оценивается снизу нормой ее продолжения по Стейну. Результаты такого же типа получены для пространств с нормой
$$ \biggl\{\int_{R^n}|z|^{-n}\nu(|z|)\bigl\|\Delta^{(j)}_zf\bigr\|^q_{L_p(R^n)}\,dz \biggr\}^{1/q}+\|f\|_{L_p(R^n)},\quad p,q\geq1, $$
где $j=1,2$, а $\Delta^{(j)}$ разность порядка $j$.
Библ. 9.