Об усреднении эллиптической краевой задачи со случайными коэффициентами

В статье рассматривается предельное при $\varepsilon\to0$ поведение решения краевой задачи
$$ -\operatorname{div}(a_\varepsilon\operatorname{grad} u_\varepsilon)+(a_\varepsilon B, \operatorname{grad} u_\varepsilon)+Cu_\varepsilon=F, \quad x\in G, u_\varepsilon=0,\quad x\in\partial G\quad (G\subset R^k) $$
в предположении, что граница области $G$ и коэффициенты $B,C,F$ гладкие, а быстроосциллирующая матрица коэффициентов при старших производных имеет вид
$$ a_\varepsilon(x)=a(x/\varepsilon), $$
где $a(y)$ – матричнозначное однородное случайное поле, удовлетворяющее условию сильного перемешивания. Показано, что решение представляется в виде
$$ u_\varepsilon=U+(\widehat{\varphi},\operatorname{grad} U)+w_\varepsilon, $$

где быстроосциллирующие поправки $\widehat{\varphi}$ и невязка удовлетворяют при $\varepsilon\to0$ соотношениям
$$ \int_G|\widehat\varphi|^2\,dx\to0 \quad\text{с вероятностью $1$},\quad E|w_\varepsilon|^2_{W^1_2(G)}\to0. $$

Библ. 10.