О препятствиях к продолжению отображений

Рассматриваются характеристики размерности $\dim$ пространства $X$ и связности пространства $Y$, полученные с помощью задачи продолжения отображений $f\colon A\to Y$ с замкнутых подмножеств $A$ на $X\setminus\Phi$, где множество $\Phi$ называют препятствием к продолжению этого отображения $f$.
Теорема 1. Для метризуемого пространства $X$ размерность $\dim X\leq n$ тогда и только тогда, когда для любого отображения $f\colon A\to S^k$ замкнутого в $X$ множества $A$ в $k$-мерную сферу $S^k$ существует такое замкнутое в $X$ множество $\Phi\subset X\setminus A$ и такое продолжение $f^1\colon X\setminus\Phi\to S^k$ отображения$f$, что $\dim\Phi\leq n-k-1$, где – $k$ – фиксированное неотрицательное число $\leq n$.
Теорема 3. Метризуемое пространство $Y\in LC^p\cap C^q$ тогда и только тогда, когда для любого отображения $f\colon A\to Y$ замкнутого в метризуемом пространстве $X$ множества $A$ в $Y$ существует такое замкнутое в $X\setminus A$, $F_\sigma$ множество $\Phi_1$ и замкнутое в $X$ множество $\Phi_2$ и такое продолжение $f^1\colon X\setminus\{\Phi_1\cup\Phi_2\}\to Y$ отображения $f$, что $\dim\Phi_1\leq n-p-1$, $\dim \Phi_2\le n-q-1$, где $n=\min\{\dim A,\dim f(A),\dim(X\setminus A)-1\}$, а $q=\max\{p,p',p''\}$, где $A\in LC^{p'}$, $f(A)\in LC^{p''}$.
Теоремы 1 и 3 являются обращениями известных теорем двойственности Эйленберга и Эйленберга–Борсука соответственно.
Библ. 17.