Смешанная задача для сильно вырождающегося на начальной плоскости гиперболического уравнения второго порядка

Для уравнения
\begin{equation} \varphi(t)u_{tt}-\sum_{l,j=1}^n\bigl[a^{lj}(x,t)u_{x_l}\bigr] +\sum_{l=1}^n b^l(x,t)u_{x_l}+b_1(x,t)u_t+c(x,t)u =f(x,t), \label{1} \end{equation}
где $x(x_1,x_2,\dots,x_n)$, рассматривается смешанная задача в цилиндрической области $Q_{T_1}=D\times(0<t<T_1)$, ($D$ – конечная область в пространстве $x_1,x_2,\dots,x_n$ с границей $\partial D$) с однородными граничными значениями
\begin{equation} u|_{\partial D}=0\quad\text{при}\quad t\in[0,T_1] \label{2} \end{equation}
и со следующими начальными данными
\begin{equation} u|_{t=0}=\psi(x),\quad \biggl(t^\gamma\frac{\partial u}{\partial t}\biggr) \biggr|_{t=0}=\psi_1(x), \label{3} \end{equation}
либо
\begin{equation} u|_{t=0}=\psi(x),\quad \biggl[t^\gamma\frac{\partial}{\partial t}(u-\overline{B}) \biggr]\biggr|_{t=0}=\psi_1(x),\quad \gamma\in[0,1). \label{4} \end{equation}

Показано, что при определенных условиях задачи (1)–(3) или (1), (2), (4) имеют единственное решение в подобласти области $Q_{T_1}$.
Библ. 7.