Спектр вольтеррова оператора на полуоси и тауберовы теоремы типа Пэли–Винера

Рассматриваются спектры вольтеррова оператора $V$ с непрерывным или слабо сингулярным матричным ядром $K(t,\tau)$ в $L^{(\infty)}(0,\infty)$ и двух его подпространствах $\Lambda$ и $Z$, из которых $\Lambda$ состоит из вектор-функций $f(t)$ c конечным $f(\infty)$, a $Z$ из $f(t)$, у которых $f(\infty)=0$. Доказывается, что если $V$ ограничен в каждом из этих пространств, то все три спектра совпадают. С помощью этой теоремы получено обобщение тауберовой теоремы И. М. Гельфанда.
Доказывается, что если $K(t,\tau)\ge0$ и оператор $V$ ограничен в пространствах $\Lambda$, $Z$, то спектральный радиус $V$ в $\Lambda$ совпадает со спектральным радиусом $r(T(K))$ матрицы $T(K)$:
$$ T(K)=\lim_{t\to\infty}\int_0^tK(t,\tau)\,d\tau, $$
и интервал $[0,r(T(K))]$ вещественной оси принадлежит спектру $V$ в $\Lambda$.
Библ. 22.