О преобразованиях систем сходимости

Для унитарного оператора $A$ специального вида находятся условия, при которых система $\psi_n=A\varphi_n$ остается системой сходимости почти всюду, если таковой была ортонормированная система $\varphi_n$. Показано, что подобного результата в пространстве $L^p$, $1<p<\infty$, $p\ne2$, быть не может.