О секвенциальной порядковой непрерывности в $C(K)$-пространстве

В [1] доказано, что для любого компактного хаусдорфова пространства $K$ без изолированных точек существует компактное хаусдорфово $P'$-пространство $X$, не являющееся $F$-пространством, такое, что $C(K)$ изометрически и порядково изоморфно векторной подрешетке $C(X)$. Доказательство этого утверждения техническое и сильно зависит от теорем о представлении. В данной статье представлено его простое прямое доказательство без каких-либо предположений об изолированных точках. Указаны некоторые обобщения.