Тауберова теорема о спектральном радиусе

В статье доказывается несколько утверждений об экспоненциальной малости полугруппы операторов $\{T^n\}_{n\geq0}$ или $\{T_\tau\}_{\tau\geq0}$ в пространстве $X$, исходя из более слабых априорных допущений о поведении траекторий $\{(T^nx,x^*)\}$ или резольвенты $((I-\lambda T)^{-1}x,x^*)$, $x\in X$, $x^*\in X^*$. Эти допущения сводятся, по существу, к существованию на множестве траекторий (или резольвент) нормы, строго мажорирующей норму пространства коэффициентов Фурье мер (интегралов типа Коши–Стилтьеса). Среди конкретных допущений такого рода отметим $\sum\limits_{n\geq0}|(T^nx,x^*)|^pw_n<+\infty$ $\forall x\in X$, $\forall x^*\in X^*$; $\sum\limits_{n\geq0}w_n=+\infty$.