Частотная теорема для уравнений эволюционного типа

Основной результат работы – доказательство существования решения специального операторного неравенства (частотная теорема) для операторов в оснащенных гильбертовых пространствах. Пусть гильбертово пространство $X_0$ оснащено гильбертовыми пространствами $X_1$ и $X_{-1}$: $X_1\subset X_0\subset X_{-1}$, $A\colon X_1\to X_{-1}$ – непрерывное линейное отображение, $B\colon U\to X_{-1}$ – непрерывное линейное отображение, $U$ – гильбертово пространство, $F(x,u)$ – непрерывная эрмитова форма на $X_1\times U$. Тогда при некоторых предположениях для существования линейного оператора $H$, непрерывно действующего из $X_{-1}$ в $X_0$ и такого, что квадратичная форма $\operatorname{Re}(Ax+Bu,Hx)_0+F(x,u)$ положительно определена, необходима и достаточна положительная определенность формы $F[x(\omega,u),u]$, где $x(\omega,u)\colon i\omega x(\omega,u)=Ax(\omega,u)+Bu$ для всех $\omega\in R^1$. При этом существуют такие непрерывные операторы $H_0\colon H_{-1}\to X_0$, $h\colon X_0\to U$, $\varkappa\colon U\to U$, что справедливо представление $\operatorname{Re}(Ax+Bu,H_0x)_0+F(x,u)=|\varkappa u+hx|^2$, $x\in X_1$, $u\in U$. В качестве следствия частотной теоремы получена теорема о стабилизации $L_2$ управляемых систем. Результаты работы имеют широкий круг приложений.