Об одной теореме Эйделгайта

Для подмножества $M$ локально-выпуклого пространства (ЛВП) $F$ обозначим через $M^{\circ\circ}$ поляру множества $M^\circ$ в $F''$-сопряженном к пространству $F'$, наделенному сильной топологией, а через $F_M$ – линейную оболочку $M$ в $F$. В статье доказана
Теорема. Пусть $(X_k)_{k=1}^\infty$ – возрастающая последовательность подпространств ЛВП $E$. Если для каждой согласованной последовательности линейных функционалов $(f_k\in X'_k)_1^\infty$, т.е. такой, что $f_{k+1}|_{X_k}=f_k$ существует разрешающий ее функционал $f\in E'$, т. е. такой, что сужение $f$ на каждое $X_k$ совпадает с $f_k$, то для любого ограниченного множества $B\subset E$ существует $j$ такое, что $X^{\circ\circ}_k\cap E''_{B^{\circ\circ}}\subset X^{\circ\circ}_j$ для всех $k$. Обратно, если сильное сопряженное к $E$ есть пространство Фреше, то из этого условия вытекает, что для любой согласованной последовательности функционалов $(f_k\in X_k)$ существует разрешающий ее функционал из $E'$.