Собственные векторы линейных операторов и $\omega$-независимость

В работе доказывается, что из линейно-независимой, слабо сходящейся к нулю последовательности векторов нормированного пространства можно извлечь $\omega$-независимую подпоследовательность с той же замкнутой линейной оболочкой, что и исходная. Однако может случиться, что никакая бесконечная часть последовательности не является системой собственных векторов нескалярного оператора (т. е. если $Tx_n=\lambda_nx_n$ для бесконечного множества номеров $n$, то $\lambda_n\equiv\operatorname{const}$).