Линейные функционально-дифференциальные уравнения нейтрального типа и запаздывающий спектр

В работе рассматривается уравнение
$$ \dot x(t)=(A\dot x)(t)+(Bx)(t)+f(t)\quad(a\le t\le b) $$
с начальным условием $x(t)=\varphi(t)$ ($t\le a$). Здесь $A$ и $B$ – линейные ограниченные операторы типа Вольтерра, действующие в пространстве $C$ непрерывных и ограниченных на действительной оси функций со значениями в банаховом пространстве $E$ (в работе такие операторы называются запаздывающими). Скажем, что рассматриваемая задача корректна на $[\alpha,\beta]$, если она однозначно разрешима в классе непрерывно дифференцируемых функций при любых $a,b\in[\alpha,\beta]$ ($a<b$) и функциях $f$ и $g$, удовлетворяющих условию склейки. Доказывается, что корректность равносильна наличию следующего спектрального свойства у оператора $A:1$ не принадлежит спектру "сужения оператора на отрезок $[\alpha,\beta]$" в алгебре запаздывающих операторов. Приводится необходимое и достаточное условие выполнения этого требования для оператора с одним дискретным запаздыванием.