RUS  ENG
Полная версия
ЖУРНАЛЫ // Сибирский математический журнал // Архив

Сиб. матем. журн., 1975, том 16, номер 3, страницы 562–571 (Mi smj4145)

Эта публикация цитируется в 3 статьях

О существовании решений некоторых операторных неравенств

А. А. Нудельман, П. А. Шварцман


Аннотация: Известные критерии В. А. Якубовича разрешимости матричных неравенств, встречающихся в теории автоматического регулирования, переносятся на случай ограниченных операторов, действующих в гильбертовом пространстве. Установлена эквивалентность следующих двух теорем, в которых $A$ – ограниченный оператор со спектром в левой полуплоскости, $c,g$ и $d$ – элементы гильбертова пространства.
Теорема 1. Для того, чтобы операторное уравнение
$$ AF+FA^*=cg^*+gc^* $$
имело неотрицательное решение $F$, необходимо и достаточно существование такой голоморфной при $\operatorname{Im}\lambda<0$ функции $w(\lambda)$, $\operatorname{Im}w(\lambda)\leq0$, что $g=w(A)c$.
Теорема 2. Для существования ограниченного эрмитова оператора $X$, удовлетворяющего неравенству $A^*X+XA\leq0$ и неравенству $Xc=d$, необходимо и достаточно выполнение условия
$$ \operatorname{Re}d^*R_{i\omega}c\leq 0 \quad (-\infty<\omega<\infty). $$


УДК: 517.2,62.5

Статья поступила: 27.12.1973


 Англоязычная версия: Siberian Mathematical Journal, 1975, 16:3, 431–439

Реферативные базы данных:


© МИАН, 2024