Критические частоты канонических дробно-периодических уравнений

Рассматривается задача о параметрическом резонансе в классе канонических дробно-периодических уравнений $\mathscr J\dfrac{dx}{dt}=H(\theta t)x$. Матрица коэффициентов $B(t)=\mathscr J^-H(\theta t)$ называется дробно-периодической, если существуют такие числа $T>0$ и матрица $Q$, что $Q^p=\pm I_{2k}$ и $B(t+T)Q\equiv QB(t)$.
Устанавливается, что если у невозмущенного уравнения $(H(\theta t)\equiv H_0=\operatorname{Const}$ собственные значения $\pm i\omega_j$ различны, то при $Q^p=I_{2k}$ спектр критических частот в указанном классе определяется формулой $\theta=(\omega_j+\omega_h)(q_j+q_h+pm)^{-1}$. Здесь $i\omega_j$ – собственные числа первого рода матрицы $\mathscr J^{-1}H_0$, $q_j$ – некоторые эффективно определяемые целые числа, индексы $j,h$ и числа $m=0,\pm1,\pm2,\dots$ пробегают значения $1\leq j \leq k$, $q_j+q_h+pm\neq0$. Если среди чисел $\pm i\omega_h$ есть кратные и выполнены некоторые дополнительные условия, то любая частота – критическая. Устанавливаются аналогичные результаты для случая $Q^p=-I_{2k}$.