Разрешимые квазимонокомпозиционные алгебры

Пусть $\Phi$ – произвольное поле характеристики $\neq2$.
Теорема 1. Для любого натурального числа $n$ существует коммутативная $(n+1)$-ступенно разрешимая невырожденная $KM$-алгебра $A$ размерности $2n$ над полем $\Phi$.
Определение. Алгебра $A$ называется моноразрешимой, если
$$ (\forall a\in A) (\exists n)\, a^{[n]}=0,\quad\text{где}\quad a^{[1]}=a,\quad a^{[m+1]}=a^{[m]}\cdot a^{[m]}. $$

Следствие. Существуют коммутативные невырожденные $KM$-алгебры, которые являются моноразрешимыми, но не будут разрешимыми.
Теорема 2. Пусть $A$ – коммутативная $(n+1)$-ступенно разрешимая алгебра размерности $n$ над полем $\Phi$. Если на $A$ задана структура $KM$-алгебры $\langle A,f\rangle$, $f=0$, то $\operatorname{Rad}f=A^{[2]}$ и поэтому $\operatorname{rang}f=1$.