Приближение дифференцируемых функций многих переменных суммами Фурье в метрике $L_p$

Изучается класс $SL_p^r$, $r=(r_1,\dots,r_n)$, $r_j>0$ периодических функций
$$ f(x)=f(x_1,\dots,x_n)=\sum_k c_ke^{ikx},\quad kx=\sum_1^n k_jx_j $$
с периодом $2\pi$ по каждой переменной, имеющих конечную норму $\|f\|_{SL^r_{\overset{*}p}}=\sum\limits_\rho\|f^{(\rho)}\|_p$, где сумма распространена на частные производные порядка $\rho=(\rho_1,\dots,\rho_n)$, $\rho_j=r_j\theta_j$ ($\theta_j=0,1$). Доказывается в частности, следующее утверждение. При условии $0<r_1=\dots-r_m<r_{m+1}\leq \dots\leq r_n$, $1<p<\infty$ существуют не зависящие от $f$ постоянные $C_0,\mu_0$ со следующими свойствами: каждому $\mu>\mu_0$ можно поставить в соответствие множество $\varepsilon_\mu$ частот $k$ – целочисленных неотрицательных векторов – такое, что количество $|\varepsilon_\mu|$ имеет строгий порядок $\mu$ ($|\varepsilon_\mu|\sim \mu$) и
$$ \biggl\|f(x)-\sum_{k\in\varepsilon_\mu}c_ke^{ikx}\biggr\|\leq C_0\biggl(\frac{\lg^{m-1}\mu}{\mu}\biggr)^{r_1}\|f\|_{SL^r_{\overset{*}p}}. $$
Величину в скобках нельзя заменить $o\biggl(\dfrac{\lg^{m-1}\mu}{\mu}\biggr)$, $\mu\to\infty$. Подобная оценка, где вместо сумм Фурье фигурируют суммы $\sum\limits_{k\in\varepsilon_\mu}\lambda_kc_ke^{ikx}$ с коэффициентами $\lambda_k$, висящими от $\varepsilon_\mu$, была получена Б. С. Митягиным.