Последовательности функционалов с пограничным слоем

Дается определение последовательностей функционалов с пограничным слоем в $L_p^m(\Omega)$, $1<p<\infty$, $\Omega$ – ограниченная область в $n$-мерном пространстве, которое является далеко идущим обобщением понятия последовательностей функционалов ошибок кубатурных формул с регулярным пограничным слоем.
Построение функционалов $l^k$ из последовательностей с пограничным слоем связано с параметром $h>0$ и функционалами $l^h_\gamma$, $l^h=\sum l^h_\gamma$. Часть $l^h_\gamma$ имеет носители, лежащие в “пограничном слое”. Другие $l^h_\gamma$ получаются из фиксированного функционала $l^0$ с помощью операций сдвига и растяжения аргумента. Доказывается, что если $\{l^h\}$ – последовательность функционалов с пограничным слоем в $L_p^m(\Omega)$, то при $h\to0$
$$ (1)\hskip2cm \|l^h\|_{L_p^{m^*}(\Omega)}=(\operatorname{mes}\Omega)^{1/q} \|l^0\|_{\widetilde{L}^{m^*}_p(G)}h^m+o(h^m); \quad 1/q+1/p=1,\qquad, $$
где $L_p^m(G)$ – некоторое пространство, порожденное периодическими функциями и полиномами степени $m$ . Приводятся примеры применения (1) к теории кубатурных формул. В частности, при $p=2$ получаются результаты более общие, чем ранее полученные автором с помощью теории Соболева.