Непрерывные функции с монотонно убывающими коэффициентами Фурье по системе Хаара

Доказывается следующая
Теорема. Для того чтобы непрерывная на $[0,1]$ функция $f(t)$ имела монотонно убывающие коэффициенты Фурье по системе Хаара $a_m(f)$, $m\ge2$, необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись следующие условия:
1) производная $f'(t)$ функции $f(t)$ существует и непрерывна всюду на $[0,1]$ за исключением, быть может, счетного множества $E\subset[0,1]$, где она может терпеть разрывы лишь первого рода:
2) $f'(t)$ отрицательна и не убывает на $[0,1]\setminus E$;
3) для любых точек $x,t\in[0,1]\setminus E$ имеют место неравенства
$$ 2^{-3/2}\leq f'(x)/f'(t)\leq 2^{3/2}. $$

Границы в условии 3) точные.
Для непрерывно-дифференцируемых функций аналогичное утверждение ранее доказал Б. И. Голубов (РЖМат., 1965, 4Б68).