Частотная теорема для случая, когда пространства состояний и управлений – гильбертовы, и ее применение в некоторых задачах синтеза оптимального управления. I

Пусть $\mathbf X=\{x\}$, $\mathbf U=\{u\}$ – гильбертовы пространства, $\mathscr F(x,u)$ – эрмитова форма на $\mathbf X\times\mathbf Y$, $A\colon \mathbf X\to\mathbf X$, $b\colon \mathbf U\to\mathbf X$ – линейные ограниченные операторы и либо $A$ – гурвицев оператор, либо спектр оператора $A$ не пересекается с мнимой осью, и пара $(A,b)$ стабилизируема. Для существования такого ограниченного самосопряженного оператора $H$, что форма $\operatorname{Re}[x^*H(Ax+bu)]+\mathscr F(x,u)$ положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы
$$ \exists\delta>0:\mathscr F[(i\omega I-A)^{-1}bu,u]\geq\delta\|u\|^2,\quad\forall u\in U, \quad \forall\omega\in R^1. $$

При выполнении последнего условия существуют такие линейные ограниченные операторы $H=H^*\colon \mathbf X\to\mathbf X$, $h\colon\mathbf U\to\mathbf X$, $\varkappa=\varkappa^*\colon\mathbf U\to\mathbf U$, что справедливо представление $\operatorname{Re}x^*H(Ax+bu)+\mathscr F(x,u)=|\varkappa(u-h^*x)|^2$ $\forall(x,u)$ и оператор $B=A+bh^*$ обладает свойством $|e^{Bt}a|\in L_2(0,\infty)$, $\forall a\in\mathbf X$. Сформулированное утверждение используется для “синтеза” оптимального управления в различных задачах минимизации квадратичных функционалов.