Элементы Ли в тензорной алгебре

Пусть $T(V)=\sum\limits_0^\infty V^{(n)}$ – тензорная алгебра $K$-модуля $V$, и $L(V)=\sum\limits_1^\infty L_n(V)$ – подалгебра Ли в $T(V)$, порожденная $V=V^{(1)}$. Предположим, что кольцо $K$ содержит $1/n$ и первообразный корень $\varepsilon$ степени $n$ из единицы. Рассмотрим циклическую группу $\Gamma$ с образующей $\tau$, действующую на $V^{(n)}$ и $K$ справа по формулам
$$ (x_1x_2\dots x_n)\tau=x_2x_3\dots x_nx_1,\quad k\tau=\varepsilon k, \quad k\in K. $$

Обозначим через $K_\varepsilon$ кольцо $K$ с этой структурой $\Gamma$-модуля. Тогда имеет место функторный по $V$ изоморфизм
$$ L_n(V)=\operatorname{Hom}_{K\Gamma}(K_\varepsilon,V^{(n)}). $$
В качестве приложения этого результата доказывается, что при $n\neq4,6$ в разложении $GL(V)$ модуля $L_n(V)$ содержатся все неприводимые представления из $V^{(n)}$, кроме симметрической и внешней степени $V$.