Экстремальные теоремы для римановых пространств с кривизной, ограниченной сверху. I

Рассматриваются $m$-мерные римановы пространства $V_1^m$, риманова кривизна которых ограничена сверху числом $1$ и в которых длина любой замкнутой геодезической не меньше $2\pi$. Доказывается
Теорема1. Если в $V_1^m$ существует замкнутая геодезическая $\gamma$ длины $2\pi$, индекс которой равен $\bar q$, то в $V_1^m$ существует вполне геодезическая поверхность $F_{q+1}$, изометричная $(\bar q+1)$-мерной сфере радиуса $1$ и содержащая $\gamma$.
Выводятся различные следствия теоремы 1.