Соответствия над произвольной категорией

Соответствие над категорией $\mathscr A$ есть тройка $\mathfrak N=(\mathscr A, \mathscr P,\mathscr F)$, состоящая из $I$-категории $\mathscr P$ и функтора $\mathscr F\colon\mathscr A\to\mathscr P$, для которого $\mathscr F(\operatorname{Mor}\mathscr A)\subset\operatorname{Map}\mathscr P$, где $\operatorname{Map}\mathscr P \subset\operatorname{Mor}\mathscr A$ – класс всех собственных морфизмов $\mathscr P$. Морфизм $\mathscr H_c\colon \mathfrak N_1\to\mathfrak N_2$ соответствий $\mathfrak N_i=(\mathscr A,\mathscr P_i,\mathscr F_i)$ над $\mathscr A$ есть $I$-функтор $\mathscr H\colon \mathscr P_1\to\mathscr P_2$ такой, что $\mathscr P_1\mathscr H=\mathscr P_2$. Соответствие над $\mathscr A$ образует категорию $\operatorname{Cor}\mathscr A$.
Основной результат. Существует универсальное соответствие над $\mathscr A$ $\operatorname{Univ}\mathscr A=(\mathscr A,\mathscr B,\mathscr I)$, т. е. универсальный отталкивающий объект в $\operatorname{Cor}\mathscr A$. Оно обладает свойствами: $\mathscr I\colon \mathscr A\to\mathscr B$ вложение, $\mathscr I(\operatorname{Ob}\mathscr A)=\operatorname{Ob}\mathscr B$ $\mathscr I(\operatorname{Mor}\mathscr A) =\operatorname{Map}\mathscr B$. И существует естественный по $U\in\mathscr A$ $I$-функтор из $I$-категории $\mathscr B$ в $I$-категорию бинарных отношений над категорией множеств, сопоставляющий каждому $A\in \operatorname{Ob}\mathscr A=\operatorname{Ob}\mathscr B$ множество $\operatorname{Hom}_{\mathscr A}(U,A)$ его $U$ точек.