Функции типов целой функции многих переменных по направлениям ее роста

Пусть $N_1(\rho)=\{\exp (\tau r^\rho,\tau>0\}$ – известная шкала роста класса
$$ \mathfrak N_1(\rho)= \bigl\{f:0<\sigma\overset{\text{опр}}=\varlimsup_{t\to+\infty} t^{-\rho}\cdot\ln M_f(t)<+\infty\bigr\},\quad M_f(t)=\max_{|z|=t}|f(z)|, $$
целых функций конечного порядка $\rho$ и нормального типа. Ее геометрический смысл таков: для $\forall f\in\mathfrak N_1(\rho)$ у функции $\ln^{+}\ln^{+}M_f(e^u)$ $\exists$ верхняя асимптота $T=\{(y,u)\in R^2:y=\varphi(u)\overset{\text{опр}}=\rho u+\ln\sigma\}$. Функция $\exp(\exp(\varphi(\ln r)))=\exp(\sigma r^\rho)$ – элемент шкалы $N_1(\rho)$.
Исследуются являющиеся аналогом $\mathfrak N_1(\rho)$ классы $\{\mathfrak N_n^x(\rho), x\in D_\rho\}\overset{\text{опр}}= \{u\in R^n:\rho(u)>0\}$ целых функций от $n$ комплексных переменных ($n\geq2$) с произвольно заданной конечной в $R^n$ функцией порядков
\begin{gather} \rho(u)=\rho_f(u)\overset{\text{опр}}=\varlimsup_{t\to+\infty}t^{-1}\cdot W_f(u_1t,\dots,u_nt),\notag\\ W_f(u)=\ln^{+}\ln^{+}M_f(e^{u_1},\dots,e^{u_n}), \quad M_f(r)=\max_{|z_t|\leq r_t}|f(z)| \notag \end{gather}
и таких, что у функций $\{W_f(u), f\in\mathfrak N^x_n(\rho)\}$ $\exists$ хотя бы одна верхняя асимптота в направлении $x\in D_\rho$. По указанному выше принципу строятся шкалы роста для классов $\{\mathfrak N_n^x(\rho), x\in D_\rho\}$, ($n\geq2$). Определяющую роль в их построении играют "функции типов целой функции $f$ по направлению ее роста"
$$ \sigma_f(r;x)=\varlimsup_{a\to r,t\to+\infty} t^{-\rho_f(x)}\ln M_f(t^{x_1}a_1,\dots, t^{x_n}a_n), \quad a,r\in R^n_{+};\quad x\in R^n. $$