Размерность и кратность градуированных алгебр

Рассматривается свободная алгебра $A$ над полем $k$ с конечным числом образующих и фактор-алгебра $\Lambda/P$ по однородному идеалу $P_\infty$. Для любого градуированного $\Lambda$-модуля $A=\sum\limits_{i=0}^\infty A_i$ имеющего конечное число образующих в каждой однородной компоненте $A_i$, рассматривается ряд $T(A)=\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i$, где $d_i=\operatorname{dim}{A}_i$. Кратностью модуля $A$ называется ряд $\chi(A)=\sum\limits_{i=0}^\infty (-1)^i T(\operatorname{Tor}^R_i(k,A))$.
Доказано: 1) существование ряда $\chi(A)$; 2) формула $T(R)\chi(A)=T(A)$; 3) эквивалентность условий: a) $\operatorname{gl.dim}R$ конечна, б) $\chi(k)$ – многочлен.