Оценки градиента гармонической функции на границе области

Доказана гипотеза С. Г. Михлина о неравенстве между $L_p$-нормами нормальной и касательной составляющих градиента гармонической функции. Даны некоторые применения этого неравенства и показано, как подобного типа неравенство может быть получено для эллиптического уравнения с непременными коэффициентами. Выведены эффективные, т. е. выраженные через исходные данные задачи оценки для нормальной составляющей градиента на границе области в случае задачи Дирихле и касательной составляющей – в случае задачи Неймана. Получены также эффективные оценки для интеграла Дирихле.