Асимптотика коэффициентов в теоремах Леви–Винера об абсолютно сходящихся тригонометрических рядах

Пусть $\{\tau_n\}_{n=1}^\infty$ – последовательность положительных чисел, таких, что $\varlimsup\limits_{n\to\infty}\sup\limits_{k\geq n/2}\tau_k/\tau_n<\infty$. Если $x(\theta)=\sum\limits_{k=-\infty}^\infty x_k e^{ik\theta}$, $\sum\limits_{k=-\infty}^\infty|x_k|<\infty$, $\Lambda(z)$ – аналитическая в односвязной ограниченной области $D$ и множество $\{x(\theta),0\leq\theta\leq 2\pi\}\subset D$, то из условия $\varlimsup\limits_{n\to\infty}|x_n|/\tau_n<\infty$ вытекает, что $\varlimsup\limits_{n\to\infty}|\lambda_n|/\tau_n<\infty$, где $\Lambda(x(\theta))= \sum\limits_{k=-\infty}^\infty\lambda_ke^{ik\theta}$, $\sum\limits_{k=-\infty}^\infty|\lambda_k|<\infty$. Для доказательства этого утверждения в множество функций, представимых абсолютно сходящимися рядами Фурье, коэффициенты которых обладают свойством $\varlimsup\limits_{n\to\infty}|x_n|/\tau_n<\infty$, вводится норма, превращающая эту совокупность в банахову алгебру относительно обычных операций умножения и сложения функций из этой совокупности. Изучение пространства максимальных идеалов этой банаховой алгебры позволяет сделать приведенные выше утверждения. Приводятся условия на коэффициенты Фурье $x(\theta)$, при которых $\lim\limits_{n\to\infty}x_n/\tau_n=\Lambda'(x(0))$.