Комбинаторные схемы и алгебры

Рассматриваются системы четверок Штейнера как с комбинаторной, так и с алгебраической точки зрения. Исходя из заданных систем четверок порядка $t+1$, $s+1$ строим некоторое множество систем порядка $st+1$. Оценка числа попарно неизоморфных систем, получаемых таким образом, показывает, что это число стремится к бесконечности вместе с порядком системы.
Определяются $O^n$-алгебры ($n\ge2$) как класс алгебр с одной $n$-арной операцией $\delta$, заданные следующими $n$ тождествами $\delta(x_1,\dots,x_{i-1},\delta(x_1,\dots,x_n),x_{i+1},\dots,x_n)=x_i$. Например, $O^2$-алгебры, есть $TS$-квазигруппы. Показывается, что многообразие $O^n$-алгебр содержит континуум минимальных подмногообразий. При нечетных $n\ge3$ в $O^n$ тождеством $\delta(x,x,y,y,\dots,z,z,u)=u$ выделяется подмногообразие $O^n_2$ ($O^3_2$ – класс алгебр, соответствующий четверкам Штейнера), обладающее интересным свойством: оно содержит единственное минимальное многообразие $Э_2^n$. Удается в явном виде указать тождество, характеризующее многообразие $Э_2^n$ (энтропическое тождество). Любая алгебра многообразия $Э_2^n$ является свободной в этом многообразии.