О синтезе оптимальных управлений в линейной дифференциальной игре с квадратичным неоднородным функционалом платежа

Рассматривается дифференциальное уравнение
\begin{equation} \frac{dx}{dt}=Ax+bu+f(t), \quad u= \begin{Vmatrix} u_1\\ u_2 \end{Vmatrix}, \label{1} \end{equation}
где $x,f(t)$ – вектор-функции порядка $n$, $A,b$ – постоянные $n\times n$ и $n\times m$ матрицы, стратегии $u_1=u_1(x,t)$, $u_2=u_2(x,t)$ двух игроков – вектор-функции порядков $m_1$ и $m_2$, $m_1+m_2=m$, $|f(t)|\in L_2(0,\infty)$. Все величины в (1) вещественны. Стратегии $u_1,u_2$ называются допустимыми, если соответствующее решение $x(t)$ уравнения (1), определенное условием $x(0)=x_0$, имеет интервал существования $[0,\infty)$ и выполнено $|x(t)|\in L_2(0,\infty)$, $|u_j[x(t),t]|\in L_2(0,\infty)$, $j=1,2$.
Пусть $F(x,u)$ – вещественно квадратичная форма $x$ и $u$, причем $F(0,u)=u_1^*\gamma_1u_1-u_2^*\gamma_2u_2$, где $\gamma_1,\gamma_2$ – положительно определенные матрицы.
\begin{equation} J(u_1,u_2)=\int_0^\infty[F(x,u)+r(t)^*x+s(t)^*u]\,dt, \label{2} \end{equation}
где $x=x(t)$, $u=u[x(t),t]$.
Допустимые стратегии $u_1^0,u_2^0$ называются оптимальными, если $J(u_1^0,u_2)\leq J(u_1^0,u_2^0)\leq J(u_1,u_2^0)$. По коэффициентам уравнения (1) эффективно строится некоторый многочлен $\varphi(x)$, вещественный на мнимой оси. Если $\varphi(\varepsilon,\omega)\neq0$, $\forall-\infty<\infty<+\infty$, то оптимальные управления существуют. Выводится явная формула для оптимальных управлений. Оптимальные управления вычисляются через коэффициенты системы (1) и подынтегрального выражения (2) с использованием лишь рациональных операций, операции вычисления корней многочлена $\varphi(\lambda)$ и операции интегрирования. Приведен пример. Результат основан на использовании теоремы В. А. Якубовича (см. В. А. Якубович, Решение одной алгебраической задачи, встречающейся в теории управления, Докл. АН СССР, 193, № 1 (1970)).