О сжатиях функций

Пусть $f(x)$ и $g(x)$ – $2\pi$-периодические функции из $L^2(0,2\pi)$. Функция $g(x)$ называется сжатой порядка $m$ ($m\geq1$) относительно $f(x)$, если при любом $h>0$ выполняется соотношение
$$ \|\Delta_h^mg(x)\|_{L^2}\leq \|\Delta_h^mf(x)\|_{L^2}, $$
где
$$ \Delta_h^{(m)}f(x)=\sum_{j=0}^m(-1)^j C_m^j f[x+(m-j)h]. $$

Известно, что если функция $f(x)\in L^2(0,2\pi)$ такова, что при некотором $\rho\in(0,2)$
$$ \sum_{n=1}^\infty n^{-p/2}\biggl[ \sum_{k=n+1}^\infty\rho_k^2(f)\biggr]^{p/2}<\infty, $$
где $\rho_k^2(f)=a_k^2(f)+b_k^2(f)$, $a_k(f),b_k(f)$ – коэффициенты Фурье функции $f(x)$ по тригонометрической системе, то для любой функции $g(x)$, сжатой порядка $m$ относительно $f(x)$ при некотором $m\geq1$, справедливо соотношение
$$ \sum_{n=1}^\infty\rho_n^p(g)<\infty. $$

В работе, в частности, устанавливается, что этот результат в некотором смысле окончателен. Именно, доказывается следующая
Теорема. Каковы бы ни были $p\in(0,2)$, целое число $m\geq1$ и положительная последовательность $v(n)\uparrow\infty$, найдется непрерывная функция $f(x)$ такая, что
$$ \sum_{n=1}^\infty\rho_n^p(f)<\infty,\qquad \sum_{n=1}^\infty\frac{n^{-p/2}}{v(n)}\biggl[ \sum_{k=n+1}^\infty\rho_k^2(f)\biggr]^{p/2}<\infty, $$
однако для некоторой функции $g(x)$, сжатой порядка m относительно $f(x)$, выполняется соотношение
$$ \sum_{n=1}^\infty\rho_n^p(g)=\infty. $$