О дополняемости подгрупп в компактных группах

Доказываются следующие теоремы.
Теорема 1. Пусть $G$ – компактная вполне несвязанная группа, каждая силовская $p$-подгруппа которой разложима в прямое произведение циклических подгрупп порядка $p$. Тогда для каждой нормальной подгруппы $F$ группы $G$ существует подгруппа $M$ такая, что $G=F \leftthreetimes M$.
Теорема 2. Пусть $A$ – абелева нормальная подгруппа компактной вполне несвязаной группы $F$. Если существуют подгруппы $B$ и $P$ в группе $F$ такие, что $A\leftthreetimes B=P$ и $(|F:P|,|A|)=1$, тогда в группе $F$ найдется такая подгруппа $M$, что $F=A\leftthreetimes M$.
При этом пишут $(|F:P|,|A|)=1$, если для любой нормальной открытой подгруппы $U$ группы $F$ и любой открытой подгруппы $V$ группы $A$ числа $|F:UP|$ и $|A:V|$ взаимно просты.
Теорема 1 решает положительно вопрос 3.58 В. С. Чарина (Коуровская тетрадь).