Стабильные автоморфизмы свободных полинильпотентных групп

Пусть $G$ – некоторая группа, $G_n$ – $n$-й член ее нижнего центрального ряда. Фиксируем целые числа $n_1,\dots,n_k$ ($n_i>1$). Определим по индукции подгруппы $G_{n_1\dots n_i}$ ($1\leq i\leq k$). Мы уже определили $G_{n_i}$. Если подгруппа $G_{n_1\dots n_i}$ ($1\leq i<k$) определена, то положим $G_{n_1\dots n_{i+1}}=(G_{n_1}\dots n_i)_{n_{i+1}}$. Группы $G$, в которых $G_{n_1,\dots, n_k} = 1$ образуют многообразие. Пусть $S$ – свободная группа в этом многообразии – свободная полинильпотентная группа для последовательности $n_1\dots n_k$. Рассмотрим в ней два ряда
\begin{gather} S\supset S_{n_1}\supset\dots \supset S_{n_1\dots n_{k-1}}\supset 1, \label{1}\\ S\supset S_2\supset\dots\supset S_{n_1-1}\supset S_{n_1}\supset\dots\supset S_{n_1\dots n_{k-1}}\supset\dots\supset (S_{n_1\dots n_{k-1}})_{n_{k-1}}\supset1, \label{2} \end{gather}
получающийся измельчением первого.
В работе описаны автоморфизмы группы $S$, стабильные относительно ряда (1), и автоморфизмы, стабильные относительно ряда (2). Описание дает следующая
Теорема. Если $f$ – эндоморфизм группы $S$, то следующие условия эквивалентны
1) $f$ являются автоморфизмом, стабильным относительно ряда \eqref{1};
2) $f$ действует тождественно в $S_{n_1\dots n_{k-1}}$;
3) $f$ –внутренний автоморфизм, соответствующий элементу из центра группы $S_{n_1\dots n_{k-1}}$;
4) $f$ является автоморфизмом, стабильным относительно ряда (2);
5) $f$ действует тождественно в $S_{n_1\dots n_{k-1}}/(S_{n_1\dots n_{k-1}})$;
6) $f=\varphi\psi$, где $\varphi$ – внутренний автоморфизм соответствующий элементу $S_{n_1\dots n_{k-1}}$, а $\psi$ – эндоморфизм группы $S$, действующий тождественно $S/(S_{n_1\dots n_{k-1}})$.