О параллельном переносе вдоль нерегулярной кривой в главном расслоении

Устанавливается, что понятие подъема кривой в произвольном главном расслоении со связностью можно естественным образом распространить на некоторые классы нерегулярных кривых в главном расслоении.
Пусть $E(P,G,M,\pi,\Gamma)$ – главное расслоение со связностью, где $P$ – пространство расслоения, $M$ – база, $G$ – действующая в нем группа, $\pi$ – каноническая проекция, $\Gamma$ – связность.
Функция $\omega$ называется модулем непрерывности, если $\omega(0)=0$, $\omega(\delta)>0$ при $\delta>0$, $\omega$ – не убывает и $\omega(\delta)\to0$ при $\delta\to0$ и $\omega(\delta_1+\delta_2)\leq\omega(\delta_1)+\omega(\delta_2)$ для любых $\delta_1>0$, $\delta_2>0$. Говорим, что модуль непрерывности $\omega$ удовлетворяет условию $K$, если $\omega(\delta)=\varkappa(\delta)\sqrt{\delta}$, где $\varkappa$ – неубывающая функция такая, что
$$ \int_0^1\frac{|\varkappa(t)|^2}{t}\,dt<\infty. $$

Пусть $V$ – дифференцируемое $n$-мерное многообразие класса $C^\infty$, $\omega$ – модуль непрерывности. Говорим, что путь $x\colon [a,b]\to V$ принадлежит классу $K(\omega,V)$, если можно указать последовательность точек $\tau_0=a<\tau_1<\dots<\tau_m=b$, последовательность допустимых систем координат $\varphi_i\colon G_i\to R^n$ и постоянную $L<\infty$ такие, что при всяком $x([\tau_{i-1},\tau_i])\subset G_i$ и $|\varphi_i(x(t'))-\varphi_i(x(t''))|\leq L\omega(|t'-t''|)$ для любых $t',t''\in[\tau_{i-1},\tau_i]$.
Пусть $x_\nu\colon [a,b]\to V$ – последовательность путей класса $K(\omega,V)$, $\nu=1,2,\dots$. Говорим, что пути $x_\nu$ при $\nu\to\infty$ сходятся в $K(\omega,V)$ к пути $x_0\colon [a,b]\to V$, если можно указать последовательность точек $\tau_0=a<\tau_1<\dots<\tau_m=b$, последовательность допустимых систем координат $\varphi_i\colon G_i\to R^n$ и постоянные $\nu_0$ и $L<\infty$ такие, что при каждом $i$, $x_0([\tau_{i-1},\tau_i])\subset G_i$ при $\nu>\nu_0$, $x_\nu([\tau_{i-1},\tau_i])\subset G_i$, причем $|\varphi_i(x_\nu(t'))-\varphi(x_\nu(t''))|\leq L\omega(|t'-t''|)$ для любых $t',t''\in[\tau_{i-1},\tau_i]$ и при $\nu\to\infty$ $\varphi_i(x_\nu(t))\to\varphi_i(x_0(t))$ для всех $t\in [\tau_{i-1},\tau_i]$. Основным результатом статьи является следующее утверждение.
Теорема. Если модуль непрерывности $\omega$ удовлетворяет условию $K$, то в главном расслоении $E(P,G,M,\pi,\Gamma)$ может быть определен оператор $\lambda$, который всякому пути $x\colon[a,b]\to M$ класса $K(\omega,M)$ и любой точке $y\in P$ такой, что $\pi(y)=x(a)$, сопоставляет путь $\lambda_yx\colon[a,b[\to P$, для которого $\lambda_yx(a)=y$, причем выполнены следующие условия:
1) если $x$ – кусочно дифференцируемый в смысле $C^\infty$ путь, то $\lambda_yx$ есть подъем пути $x$ относительно связности $\Gamma$, исходящий из точки $y$;
2) путь $\lambda_yx\in K(\omega,P)$ и если последовательность путей $x_\nu\colon [a,b]\to M$ сходится в $K(\omega,P)$ к пути $x_0\colon [a,b]\to M$ и точки $y_\nu\in\pi^{-1}(x_\nu(a))$ при $\nu\to\infty$ сходятся к точке $y_0\in\pi^{-1}(x_0(a))$, то пути $\lambda_{y_\nu}x_\nu$ сходятся в $K(\omega,P)$ к пути $\lambda_{y_0}x_0$.