Стабильные автоморфизмы некоторых классов групп

Пусть $H$ – группа, $N$ – ее абелев нормальный делитель, $\operatorname{Aut}_N(H)$ – подгруппа группы $\operatorname{Aut}(H)$, определенная условием: автоморфизм $\varphi$ из $\operatorname{Aut}(H)$ тогда и только тогда принадлежит $\operatorname{Aut}_N(H)$, когда он индуцирует тождество на $N$ и $H/N$.
Через $\Phi_N(H)$ обозначена фактор-группа группы $\operatorname{Aut}_N(H)$по подгруппе внутренних автоморфизмов, индуцированных элементами из $N$. В работе вычислена группа $\Phi_{N/N'}(F/N')$, где $F$ – свободная группа, $N\lhd F$, $N'=[N,N]$, причем $F/N$ или разрешима (теорема 2), или счетна и локально конечна (предложение 2). Один результат из книги Маклейна “Гомология” (РЖМат, 1967, 9А191К, стр. 143) позволяет провести вычисление на языке когомологий. При этом вычисляется сначала группа $\Phi_{A(G)}(A\operatorname{wr}G)$, где $A\operatorname{wr}G$ – дискретное сплетение группы $G$ указанного типа и свободной абелевой группы $A$ произвольного ранга $\varkappa$, $A^{(G)}$ – база сплетения. Уточнение предложения 2 формулируется так: пусть $G$ – счетная локально конечная группа, тогда
$$ \Phi_{N/N'}\approx\prod_{i=1}^\infty\bigg/\sum_{i=1}^\infty A_i, $$
где знак $\prod$ означает прямое произведение, $\sum$ – прямую сумму, а все $A_i$ изоморфны свободной абелевой группе ранга $\varkappa_0+$ ранг $F$ ($\varkappa_0$ обозначает мощность счетного множества), не зависящего от $i$. Итак, $\Phi_{N/N'}(F/N')$ не зависит от $G$, а только от ранга $F$.
Теорема 2. Если $G$ – разрешимая группа, не удовлетворяющая условию предложения $2$, то $\Phi_{N/N'}(F/N')\approx Z^\varkappa$, если $G$ – полициклическая ранга $1$ ($\approx Z^{\varkappa-1}$, если центр $G$ бесконечен, и $\approx Z^{\varkappa-2}$ в другом случае; $Z$ означает группу целых чисел), и $\Phi_{N/N'}(F/N')\approx0$ остальных случаях.