Некоторые теоремы о свободных абелевых метризуемых группах

Основным результатом работы является следующая теорема:
Теорема 1. Пусть $X$ – метрическое пространство, точка $x_0\in X$ и $\mu$ – произвольная метризуемая топология группы $N$ целых чисел, совместимая с групповой структурой $N$. Рассмотрим свободную абелевую группу $G$ с базой $X$, нулевым элементом которой является точка $x_0\in X$. Тогда на группе $G$ существует такая метризуемая топология $\nu$ совместимая с групповой структурой $G$, что:
1) топология $\nu$ индуцирует на множестве $X$ его первоначальную топологию;
2) множество $X$ является замкнутым подмножеством метризуемой группы $(G,\nu)$;
3) для каждой точки $x\in X$, $x\ne x_0$, слой $G_x$ группы $G$ в точке $x$ топологически изоморфен группе $(N,\mu)$;
4) для каждой точки $x\in X$, $x\ne x_0$, слой $G_x$ группы $G$ в точке $x$ является замкнутой подгруппой группы $G$.
Здесь под базой группы $G$ понимается подмножество группы $G$, состоящее из системы линейно независимых образующих группы $G$ и элемента $0$. Далее, если точка $x\in G$, $x\ne0$, то слоем группы $G$ в точке $x$ называется свободная циклическая подгруппа $G_x=\{x\}$ группы $G$, порожденная элементом $x$ и рассматриваемая в топологии, индуцированной топологией группы $G$.