Замечание о радикалах и дифференцированиях колец

Пусть $\mathfrak{A}$ – произвольная алгебра. Ее локально нильпотентным радикалом называется локально нильпотентный идеал $L(\mathfrak{A})$ такой, что $\mathfrak{A}/L(\mathfrak{A})$ не содержит локально нильпотентных идеалов. Доказывается, что для устойчивости локально нильпотентного радикала алгебры $\mathfrak{A}$ характеристики $0$ относительно всех ее дифференцирований достаточно самого факта существования этого радикала.
Формулируются следствия. Например, если $\mathfrak{A}$ – альтернативная алгебра характеристики $0$ и $\mathfrak{A}^+$ ее присоединенная йорданова алгебра, то $L(\mathfrak{A})=L(\mathfrak{A}^+)$. Если $\mathfrak{A}$ – ассоциативная алгебра, то достаточно потребовать, чтобы $1/2$ содержалась в кольце операторов. Аналогичные вопросы рассматриваются также для ниль радикала.