Некоторые геометрические свойства квазиконформных гомеоморфизмов

Изучается поведение $\alpha$-емкости множеств при квазиконформных гомеоморфизмах. С использованием связи понятий емкости множества и емкости кольцовой области устанавливается одно характеристическое свойство квазиконформных гомеоморфизмов в терминах $\alpha$-емкости. Распространяется на случай $\alpha$-емкости одно выражение для $2$-емкости, которое установил В. Г. Мазья (РЖМат, 1966, 2Б570). Показывается, что всякий квазиконформный гомеоморфизм $f\colon G\to R^n$ абсолютно непрерывен на почти всех множествах уровня $E_t$ локально липшицевых функций $u\colon G\to R^1$: если $|\nabla u|\ne0$ почти всюду в $G$, то существует в $G$ такая функция $\Lambda(x)$, что
$$ H_n^{n-1}[f(E_t)]=\int_{E_t}\Lambda(x)H_n^{n-1}(dx). $$

Представим функцию $\Lambda(x)$ в виде $\Lambda(x)=\lambda(x)|J(x,f)|$. Тогда $\lambda(x)=|\nabla v(y)|/|\nabla u(x)|$, где $v(y)=u[f^{-1}(y)]$, а точка $y$ такова, что $f(x)=y$.