Эта публикация цитируется в
6 статьях
Коэрцитивные оценки погрешностей проекционно-разностного метода для абстрактного параболического уравнения с оператором, область определения которого зависит от времени
В. В. Смагин
Аннотация:
В сепарабельном гильбертовом пространстве
$H$ на отрезке
$[0,T]$ параболическая задача
\begin{equation}
u'(t)+A(t)u(t)+B(t)u(t)=f(t), \quad u(0)=u^0
\tag{1}
\end{equation}
решается приближенно проекционно-разностным методом. В задаче (1) операторы
$A(t)$ предполагаются самосопряженными положительно определенными, причем у операторов
$A^{1/2}(t)$ области определения
$D[A^{1/2}(t)]=D_{1/2}$ не зависят от
$t$, а операторы
$B(t)$ подчинены оператору
$A^{1/2}(0)$. Дискретизация задачи (1) по пространству
$H$ проводдится полудискретным методом Галеркина по произвольному конечномерному подпространству
$V_h\subset D_{1/2}$, а по времени используется неявный метод Эйлера. В условиях коэрцитивной разрешимости задачи (1) в пространстве
$L_2(0,T;H)$ для погрешности
$z_k=u(t_k)-u_k$ $(k=1,2,\dots,N)$, где
$u(t_k)$ – решение задачи (1) в узлах сетки по
$t$, а
$u_k$ – решение приближенной задачи, установлена эффективная оценка выражения
$$
\max_{1\le k\le N}\|z_k\|^2+\sum_{k=1}^{N}(\|A^{1/2}(0)z_k\|^2\tau+\|z_k-z_{k-1}\|^2),
$$
где
$\tau$ – шаг сетки по
$t$. Найденная оценка позволяет устанавливать не только сходимость приближенных решений к точному, но и получать числовые характеристики скорости сходимости, что иллюстрируется на примере подпространств
$V_h$ типа конечных элементов.
Библиогр. 9.
УДК:
517.988.8 Статья поступила: 25.01.1994