О существовании положительных собственных векторов и оценке спектра одного класса линейных положительных операторов

В работе приводятся новые оценки спектра одного класса линейных положительных операторов и доказываются различные теоремы существования положительных собственных векторов. Сформулируем два основных результата работы.
Рассмотрим вещественное банахово пространство $E$, полуупорядоченное при помощи замкнутой полугруппы $K$.
Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия:
а) линейный положительный оператор $Au_0$-ограничен в пространстве $E$, где $-u_0\notin K$;
б) сопряженный оператор $A^*$ $h_0$-oграничен в пространстве $E^*$, где $-h_0\in K^*$;
в) при некоторых натуральных $p_0$ и $q_0$ и $\alpha_0,\beta_0>0$
$$ A^{p_0}u_0=\beta_0^{p_0}u_0, A^{*q_0}h_0=\delta_0^{q_0}h_0. $$
Тогда спектр $S$ оператора $A$ заключен в круге $|\lambda|\leq\min\{\beta_0,\delta_0\}$.
Предположим теперь, что пространство $E$ является сопряженным для некоторого пространства $H$ и слабая сходимость в $E$ понимается как слабая сходимость функционалов в пространстве $H$. Тогда справедлива
Теорема 2. Пусть выполняются условия а) и б) теоремы 1 и
1) единичный шар $\|x\|\leq1$ слабо компактен в $E$;
2) в $H$ полугруппа $K_H(z\in H,\inf_{x\in K} x(z)\geq0)$ содержит ненулевые элементы;
3) оператор $A$ непрерывен в слабой топологии;
4) оператор $A^*$ $h_0$-ограничен снизу.
Тогда операторы $A$ и $A^*$ имеют в соответствующих полугруппах $K$ и $K^*$ собственные векторы, отвечающие спектральному радиусу $\rho$ оператора $A$.