К вопросу о приближении функций многих переменных многочленами

На языке приближений функции $f$ алгебраическими многочленами, зависящих от точки $n$-мерной области $\Omega$ с липшицевой границей, дано условие принадлежности $f$ к классу $H_r(\Omega)$, обобщающее результат В. К. Дзядыка, соответствующий случаю когда $\Omega$ есть одномерный отрезок. Однако, доказывается, что не существует последовательности функций $\mu_N(\rho)$ ($\rho=\sqrt{x^2+y^2}\le1;N=1,2,\dots$), для которой бы имела место теорема (верная в одномерном случае): для того чтобы определенная на единичном круге $\sigma$ ($\rho\le1$) функция $f(x,y)$ принадлежала к классу $H^r(\sigma)$ необходимо и достаточно существование константы $C$ и последовательности многочленов $P_N(x,y)$ ($N=1,2,\dots$) таких что $|f(x,u)-P_N(x,q)|\le C\mu_N(\rho)$.